Sistema de Ecuaciones Lineales en Función con un Parámetro PAU+25

Los Axiomas de PEANO �� CONSTRUYENDO los Números Naturales

AXIOMAS de PEANO Una Construcción del Conjunto de los Números Naturales

Sucesiones Convergentes de TÉRMINOS NO NEGATIVOS

La SUMA de NATURALES Es una Ley de Composición Interna

Qué Son las MATRICES

Raíz de Dos NO ES RACIONAL

Toda Sucesión Convergente Tiene un ÚNICO LÍMITE

Ejemplo de SUCESIÓN CONVERGENTE

Tres Ejemplos SUPER ÚTILES de Covergenciad de Sucesiones

Criterio de CONVERGENCIA de SUCESIONES

El criterio de convergencia de sucesiones es una de esas cosas que a los novatos universitarios se les suele atragantar, y es que su asimilación exige un salto teórico un poco más grande que al que están acostumbrados en Bachillerato. Por eso vamos a meternos con este tema en el blog, como siempre viendo un ejemplo ilustrativo.

Este lindo criterio dice que una sucesión $(a_n)$ de elementos de un cuerpo ordenado $\mathbb{K}$ será converge en un elemento $a$ de $\mathbb{K}$  si y solo si para cualquier cantidad $\varepsilon$ positiva que imaginemos siempre vamos a poder encontrar un término $a_{n_0}$ tal que tanto él mismo como todos los términos superiores a él van a estar más cerca del punto de convergencia $a$ que $\varepsilon$ del cero. Una forma de expresar con símbolos matemáticos lo anterior es la siguiente

$(a_n) \rightarrow a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$

Menudo lío verdad. No te preocupes que aquí estoy para ayudarte.

Por un lado

$(a_n) \rightarrow a$

significa lo mismo que $\lim\limits_{n}{a_n}=a$. Se lee como "(a_n) converge en a" o "el límite de (a_n) es a". Es decir, significa que a medida que $n$ tiende a ser más grande los términos de la sucesión tienden a juntarse o converger cada vez más con el elemento $a$. Igual que tu con esa chica o chico que tanto te gusta; cuanto más piensa en él/ella más ganas tienes de verle/a.

Después de esto tenemos el símbolo de la doble implicación

$\Leftrightarrow$

que significa "si y solo sí", que a su vez es lo mismo que decir "equivale" o "es una condición necesaria y suficiente". Lo que significa es que si lo que le precede, es decir $(a_n) \rightarrow a$ se cumple, entonces también se cumple lo que le sigue, es decir se cumple que 

$ \forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$, 

y viceversa, si se cumple lo que le sigue entonces también se cumple lo que le precede.

Por otro lado, tenemos el criterio de convergencia en sí

$ \forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$

el cual va a requerir que lo analicemos detenidamente.

Lo primero que vemos es

$\forall \varepsilon > 0$

que se lee "para todo epsilon positivo". Quiere decir que cualquier epsilon positivo debe hacer cierto que

$\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$

A esto le sigue

$\exists n_0 \in \mathbb{N}$

que se lee "existe un $n_0$ perteneciente al conjunto de los números naturales". Por tanto, tenemos que

$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que}$

se leerá "para todo epsilon positivo existe un número natural $n_0$ tal que..."

Y ahora lo verdaderamente importante. El quid de la cuestión es

$|a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$

el cual se lee "el valor absoluto de $a_n$ - a es menor que epsilon para todo número natural mayor o igual que $n_0$". Esto significa que la distancia entre los puntos $a_n$ y $a$ (recuerda que el valor absoluto de la diferencia de dos números reales se puede interpretar como la distancia que los separa) será menor que epsilon, y por tanto menor también que cualquier cantidad positiva, cuando $n$ es mayor o igual que $n_0$, es decir cuando sustituimos $n$ por $n_0$ o por algún número natural mayor que $n_0$.

No te preocupes si todavía no lo entiendes porque ahora es cuando viene este paso. Juntemos todas las piezas y veamos el paisaje.

$(a_n) \rightarrow a$ $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon > 0$ $\text{ }$ $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ $\text{ tal que }$ $|a_n-a|< \varepsilon \text{ }$ $\forall n \geq n_0$

Una sucesión $(a_n)$ de elementos (imagina números) se van acercado cada vez más al número $a$ es lo mismo que decir que para cualquier cantidad epsilon positiva existirá un término $a_{n_0}$ tal que la distancia entre un término igual o mayor que $a_{n_0}$ será menor que epsilon, y por tanto menor que cualquier cantidad positiva.

Lo sigues sin entender. Veamos un ejemplo: Imagina una sucesión cuyos primeros términos son

$a_0 = 1$, $a_1=1.9$, $a_2=1.99$, $a_3=1.999$, ..., $a_n=\frac{2 \cdot 10^n - 1}{10^n}$

y demostremos que converge en $2$, es decir que se cumple que

$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-2|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$

Para ello lo primero que hacemos es darnos cuenta de que

$|a_n-2| = \frac{1}{10^n}$. (1)

Después tenemos en cuenta la propiedad arquimediana de los números naturales que dice que el conjunto de los números naturales no está acotado superiormente, es decir

$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \varepsilon < n_0$

y por tanto, como $\varepsilon > 0$ implica que $1/ \varepsilon$ también es mayor que cero, y la propiedad arquimediana es cierta para cualquier cantidad positiva $\varepsilon$, entonces también es cierta para  $1/ \varepsilon$, es decir

$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \frac{1}{\varepsilon} < n_0$

de donde deducimos que

$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \frac{1}{n_0} < \varepsilon$. (2)

Ya solo nos hace falta percatarnos de que

$\frac{1}{10^{n}}< \frac{1}{n} \forall n$. (3)

Si juntamos las proposiciones (1), (2) y (3) anteriores podemos deducir que

$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \frac{1}{10^{n}}=|a_n-2|< \frac{1}{n_0}< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$

QUÉ ES una SUCESIÓN. Criterio De CONVERGENCIA DE SUCESIONES

DEMOSTRACIÓN de la Desigualdad De Bernoulli

Demostración COMPLETA Del Principio De Inducción

Demostración COMPLETA De La Propiedad Del Buen Orden En N

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN en los Números Naturales

Si te pido demostrar que la suma de todos números naturales que hay entre $1$ y $n \in \mathbb{N}$ es igual a esto

$1+2+3+...+n = n(n+1)/2$

lo mejor que puedes hacer es usar el Principio de inducción, pues con este podemos verificar si una proposición sobre los números naturales, como la anterior, se va a cumplir para todos los números naturales sin tener que ir probando uno a uno con los infinitos números naturales que existen. Fíjate que esto último sería un esfuerzo facuo, pues aunque la proposición sea cierta para los $500$ primeros números naturales, esto no nos garantiza que siga siendo cierta para los $501$ primeros números naturales. Después de todo nos quedarían infinitos números naturales que probar. Pero ¿qué es el principio de inducción?

Como su nombre muy bien indica es un principio, y por tanto una afirmación de donde se parte y cuya validez es irrefutable te pongas como te pongas. Concretamente dice que si el primer o más pequeño número natural, el $1$, pertenece a un subconjunto $A$ de los números naturales, y para cada $n \in A$ tenemos que su siguiente,  $n+1$, también está dentro de $A$, entonces el conjunto $A$ es el conjunto de los números naturales. Simbólicamente esto se escribe así,

$[1 \in A \text{ y } (n \in A \Rightarrow n+1\in A)] \Rightarrow A=\mathbb{N}$

Nota que, por tanto, para comprobar si un conjunto $A \subset \mathbb{N}$ es igual al conjunto de los números naturales solo tenemos que ver si se cumplen estas dos condiciones

1. $1 \in A$ 
2. $n \in A \Rightarrow n+1 \in A$ 

Creo que te has quedado igual que como estabas. No te preocupes porque lo vemos con un ejemplo.

Lo primero que hacemos es crear un subconjunto $A$ de los números naturales que va tener dentro los números naturales $n$ para los que se cumple la igualdad $1+2+3+...+n = n(n+1)/2$. Es decir,

$A = \{ n\in \mathbb{N} :  1+2+3+...+n = n(n+1)/2\}$

Hecho esto, lo segundo ya solo es ver si $A = \mathbb{N}$. Así, miramos si el número $1$, recuerda el más pequeño de los naturales, pertenece a $A$, o lo que es lo mismo, si al sustituir $n$ por $1$ la igualdad 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 es correcta. Pues bien, por un lado la suma de todos los números naturales entre $1$ y él mismo, es obvio, es $1$. Por otro lado, tenemos que

$1 \cdot (1+1)/2=1$

por tanto, al sustituir $n$ por 1 la igualdad $1+2+3+...+n = n(n+1)/2$ se mantiene. Así tenemos que $1$ está dentro de $A$, por lo que la primera condición del principio de inducción se cumple.

Ya solo nos queda comprobar si para cada número natural $n$ del conjunto $A$ tenemos que $n+1$, el siguiente, también está dentro de $A$. Supongamos por un momento que $n$ está dentro de $A$, entonces se debe cumplir que 

$1+2+3+...+n = n(n+1)/2$

por lo que también se cumplirá que

$1+2+3+...+n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)$

                                                   $=n(n+1)/2 + 2(n+1)/2$

                                                   $=(n+1)(n+2)/2$

y por tanto, $n+1$ también está dentro de $A$. Recapitulando tenemos que suponer que $n$ está en $A$ nos lleva concluir que $n+1$ también está en $A$, es decir se cumple la segunda condición.

De este modo, el Principio de Inducción nos asegura que $A= \mathbb{N}$.

¿De verdad que si lo entendiste? Entonces ahora te toca ver  la demostración de este principio en este vídeo que he preparado: https://www.youtube.com/watch?v=Dy8AMmSDt9M