PRINCIPIO DE INDUCCIÓN en los Números Naturales

Si te pido demostrar que la suma de todos números naturales que hay entre $1$ y $n \in \mathbb{N}$ es igual a esto

$1+2+3+...+n = n(n+1)/2$

lo mejor que puedes hacer es usar el Principio de inducción, pues con este podemos verificar si una proposición sobre los números naturales, como la anterior, se va a cumplir para todos los números naturales sin tener que ir probando uno a uno con los infinitos números naturales que existen. Fíjate que esto último sería un esfuerzo facuo, pues aunque la proposición sea cierta para los $500$ primeros números naturales, esto no nos garantiza que siga siendo cierta para los $501$ primeros números naturales. Después de todo nos quedarían infinitos números naturales que probar. Pero ¿qué es el principio de inducción?

Como su nombre muy bien indica es un principio, y por tanto una afirmación de donde se parte y cuya validez es irrefutable te pongas como te pongas. Concretamente dice que si el primer o más pequeño número natural, el $1$, pertenece a un subconjunto $A$ de los números naturales, y para cada $n \in A$ tenemos que su siguiente,  $n+1$, también está dentro de $A$, entonces el conjunto $A$ es el conjunto de los números naturales. Simbólicamente esto se escribe así,

$[1 \in A \text{ y } (n \in A \Rightarrow n+1\in A)] \Rightarrow A=\mathbb{N}$

Nota que, por tanto, para comprobar si un conjunto $A \subset \mathbb{N}$ es igual al conjunto de los números naturales solo tenemos que ver si se cumplen estas dos condiciones

1. $1 \in A$ 
2. $n \in A \Rightarrow n+1 \in A$ 

Creo que te has quedado igual que como estabas. No te preocupes porque lo vemos con un ejemplo.

Lo primero que hacemos es crear un subconjunto $A$ de los números naturales que va tener dentro los números naturales $n$ para los que se cumple la igualdad $1+2+3+...+n = n(n+1)/2$. Es decir,

$A = \{ n\in \mathbb{N} :  1+2+3+...+n = n(n+1)/2\}$

Hecho esto, lo segundo ya solo es ver si $A = \mathbb{N}$. Así, miramos si el número $1$, recuerda el más pequeño de los naturales, pertenece a $A$, o lo que es lo mismo, si al sustituir $n$ por $1$ la igualdad 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 es correcta. Pues bien, por un lado la suma de todos los números naturales entre $1$ y él mismo, es obvio, es $1$. Por otro lado, tenemos que

$1 \cdot (1+1)/2=1$

por tanto, al sustituir $n$ por 1 la igualdad $1+2+3+...+n = n(n+1)/2$ se mantiene. Así tenemos que $1$ está dentro de $A$, por lo que la primera condición del principio de inducción se cumple.

Ya solo nos queda comprobar si para cada número natural $n$ del conjunto $A$ tenemos que $n+1$, el siguiente, también está dentro de $A$. Supongamos por un momento que $n$ está dentro de $A$, entonces se debe cumplir que 

$1+2+3+...+n = n(n+1)/2$

por lo que también se cumplirá que

$1+2+3+...+n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)$

                                                   $=n(n+1)/2 + 2(n+1)/2$

                                                   $=(n+1)(n+2)/2$

y por tanto, $n+1$ también está dentro de $A$. Recapitulando tenemos que suponer que $n$ está en $A$ nos lleva concluir que $n+1$ también está en $A$, es decir se cumple la segunda condición.

De este modo, el Principio de Inducción nos asegura que $A= \mathbb{N}$.

¿De verdad que si lo entendiste? Entonces ahora te toca ver  la demostración de este principio en este vídeo que he preparado: https://www.youtube.com/watch?v=Dy8AMmSDt9M