Este lindo criterio dice que una sucesión $(a_n)$ de elementos de un cuerpo ordenado $\mathbb{K}$ será converge en un elemento $a$ de $\mathbb{K}$ si y solo si para cualquier cantidad $\varepsilon$ positiva que imaginemos siempre vamos a poder encontrar un término $a_{n_0}$ tal que tanto él mismo como todos los términos superiores a él van a estar más cerca del punto de convergencia $a$ que $\varepsilon$ del cero. Una forma de expresar con símbolos matemáticos lo anterior es la siguiente
$(a_n) \rightarrow a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$
Menudo lío verdad. No te preocupes que aquí estoy para ayudarte.
Por un lado
$(a_n) \rightarrow a$
significa lo mismo que $\lim\limits_{n}{a_n}=a$. Se lee como "(a_n) converge en a" o "el límite de (a_n) es a". Es decir, significa que a medida que $n$ tiende a ser más grande los términos de la sucesión tienden a juntarse o converger cada vez más con el elemento $a$. Igual que tu con esa chica o chico que tanto te gusta; cuanto más piensa en él/ella más ganas tienes de verle/a.
Después de esto tenemos el símbolo de la doble implicación
$\Leftrightarrow$
que significa "si y solo sí", que a su vez es lo mismo que decir "equivale" o "es una condición necesaria y suficiente". Lo que significa es que si lo que le precede, es decir $(a_n) \rightarrow a$ se cumple, entonces también se cumple lo que le sigue, es decir se cumple que
$ \forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$,
y viceversa, si se cumple lo que le sigue entonces también se cumple lo que le precede.
Por otro lado, tenemos el criterio de convergencia en sí
$ \forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$
el cual va a requerir que lo analicemos detenidamente.
Lo primero que vemos es
$\forall \varepsilon > 0$
que se lee "para todo epsilon positivo". Quiere decir que cualquier epsilon positivo debe hacer cierto que
$\exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$
A esto le sigue
$\exists n_0 \in \mathbb{N}$
que se lee "existe un $n_0$ perteneciente al conjunto de los números naturales". Por tanto, tenemos que
$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que}$
se leerá "para todo epsilon positivo existe un número natural $n_0$ tal que..."
Y ahora lo verdaderamente importante. El quid de la cuestión es
$|a_n-a|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$
el cual se lee "el valor absoluto de $a_n$ - a es menor que epsilon para todo número natural mayor o igual que $n_0$". Esto significa que la distancia entre los puntos $a_n$ y $a$ (recuerda que el valor absoluto de la diferencia de dos números reales se puede interpretar como la distancia que los separa) será menor que epsilon, y por tanto menor también que cualquier cantidad positiva, cuando $n$ es mayor o igual que $n_0$, es decir cuando sustituimos $n$ por $n_0$ o por algún número natural mayor que $n_0$.
No te preocupes si todavía no lo entiendes porque ahora es cuando viene este paso. Juntemos todas las piezas y veamos el paisaje.
$(a_n) \rightarrow a$ $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon > 0$ $\text{ }$ $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ $\text{ tal que }$ $|a_n-a|< \varepsilon \text{ }$ $\forall n \geq n_0$
Una sucesión $(a_n)$ de elementos (imagina números) se van acercado cada vez más al número $a$ es lo mismo que decir que para cualquier cantidad epsilon positiva existirá un término $a_{n_0}$ tal que la distancia entre un término igual o mayor que $a_{n_0}$ será menor que epsilon, y por tanto menor que cualquier cantidad positiva.
Lo sigues sin entender. Veamos un ejemplo: Imagina una sucesión cuyos primeros términos son
$a_0 = 1$, $a_1=1.9$, $a_2=1.99$, $a_3=1.999$, ..., $a_n=\frac{2 \cdot 10^n - 1}{10^n}$
y demostremos que converge en $2$, es decir que se cumple que
$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } |a_n-2|< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$
Para ello lo primero que hacemos es darnos cuenta de que
$|a_n-2| = \frac{1}{10^n}$. (1)
Después tenemos en cuenta la propiedad arquimediana de los números naturales que dice que el conjunto de los números naturales no está acotado superiormente, es decir
$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \varepsilon < n_0$
y por tanto, como $\varepsilon > 0$ implica que $1/ \varepsilon$ también es mayor que cero, y la propiedad arquimediana es cierta para cualquier cantidad positiva $\varepsilon$, entonces también es cierta para $1/ \varepsilon$, es decir
$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \frac{1}{\varepsilon} < n_0$
de donde deducimos que
$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \frac{1}{n_0} < \varepsilon$. (2)
Ya solo nos hace falta percatarnos de que
$\frac{1}{10^{n}}< \frac{1}{n} \forall n$. (3)
Si juntamos las proposiciones (1), (2) y (3) anteriores podemos deducir que
$\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tal que } \frac{1}{10^{n}}=|a_n-2|< \frac{1}{n_0}< \varepsilon \text{ } \forall n \geq n_0$
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